Im Hotel der unendlichen Zimmer

Es gibt einen Gedanken, vor dem die Mathematik zweitausend Jahre lang zurückgewichen ist wie vor einem Abgrund. Nicht das Unendliche an sich — daran hatte man sich gewöhnt, an das ewige „und so weiter“, den Weg, der nie endet. Das andere war verboten: das Unendliche als ein fertiges Ding, vollendet, in einem Blick gegeben, etwas, das man in die Hand nehmen, vergleichen, ja sogar zählen könnte. Georg Cantor (St. Petersburg 1845 — Halle 1918) hat dieses Verbot gebrochen, und es hat ihn fast zerrissen. Tritt mit mir in einen nachtblauen Korridor, dessen Türenreihe sich verjüngt und doch nicht endet. Wir gehen hindurch — und am Ende wirst du gesehen haben, dass es größere und kleinere Unendlichkeiten gibt. Oder zweifeln, ob du es wirklich gesehen hast.

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   Der Zaun, an dem das Zählen endet

   Erinnere dich an das Kind, das zu zählen beginnt und nicht aufhören will: eins, zwei, drei — und nach jeder Zahl noch eine, immer noch eine. Hier wohnt das Unendliche, das Aristoteles erlaubte. In seiner „Physik“ hieß es: das Unendliche ist nur der Möglichkeit nach da, ein Weg, den du immer weitergehen kannst, ein Versprechen — nie ein fertiges Ding. Du kommst nie an, hältst nie „alle“ Zahlen auf einmal in der Hand. Stell dir eine Hand vor, die im Dunkel eine Lampe nach der anderen entzündet: vor ihr immer nur ein paar erleuchtete Türen, dahinter das Dunkel des Noch-nicht. Das Licht wandert mit, das Ende erreicht es nie. Zweitausend Jahre lang galt das fertige, vollendete Unendliche als widersprüchlich; nur Gott durfte es sein. Noch 1831 protestierte Gauß, der Fürst der Mathematik, in einem Brief gegen „den Gebrauch einer unendlichen Größe als einer vollendeten“. Und nun tritt Cantor an und wagt das Undenkbare: die ganze Zahlenreihe als ein einziges, fertiges Ding zu fassen. Mit einem Schlag steht der ganze endlose Gang im Licht — alle Türen auf einmal, gegeben. Kein Rechentrick. Eine Erlaubnis.

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   Der Hirte, der nicht zählt

   Bevor wir das fertige Unendliche messen können, müssen wir wissen, was „gleich viele“ überhaupt heißt. Bei endlichen Dingen ist es einfach: wir zählen ab und vergleichen die Endzahlen. Aber das Unendliche hat keine Endzahl. Hier liegt Cantors stillster, tiefster Griff. Denk an einen Hirten, der nicht lesen, nicht zählen kann. Er weiß trotzdem jeden Abend, ob alle Schafe zurück sind: für jedes Schaf, das morgens hinausging, legte er einen Stein in den Beutel; kommt eines zurück, nimmt er einen Stein heraus. Ist der Beutel leer, ist die Herde vollzählig. Er hat nie eine Zahl genannt — und doch verglichen. Diese Paarung, eins zu eins, ist älter und reiner als das Zählen. Genau sie macht Cantor zum Maßstab: Zwei Mengen sind gleich groß, wenn sich ihre Dinge restlos paaren lassen, jedes mit genau einem Partner, keines übrig. Stell dir Schnüre vor, die je einen Gast einer Tür zuordnen. Bleibt keine Schnur ohne Tür und keine Tür ohne Schnur, dann sind es gleich viele — auch wenn niemand sie je ausgezählt hat. Merk dir dieses Bild. Mit ihm werden wir gleich das Unmögliche messen.

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   Das Ganze, nicht größer als sein Teil

   Jetzt kommt die erste leise Übelkeit. Leg in eine Reihe alle natürlichen Zahlen — eins, zwei, drei, vier — und darunter nur die geraden — zwei, vier, sechs, acht. Jeder weiß: oben müssen doppelt so viele sein, die geraden sind ja nur die Hälfte. Euklid hat es als selbstverständlichen Grundsatz hingeschrieben, einen seiner Gemeinen Begriffe: das Ganze ist größer als der Teil. So selbstverständlich wie das Atmen. Nun zieh aber von jeder Zahl einen Faden zu ihrem Doppelten: eins zu zwei, zwei zu vier, drei zu sechs. Geh die ganze Reihe entlang — und kein Faden bleibt übrig, keine gerade Zahl ohne Partner, keine natürliche ohne ihren. Es sind gleich viele. Das Ganze ist nicht größer als der Teil. Schon Galilei hatte 1638 in seinen „Discorsi“ gesehen, dass es ebenso viele Quadratzahlen wie Zahlen gibt — eins, vier, neun, sechzehn — und ist erschrocken zurückgewichen: dann, so schloss er, gelte „größer, kleiner, gleich“ für das Unendliche eben nicht. Cantor weicht nicht zurück. Er macht aus dem Skandal eine Definition. Genau dort, wo die Intuition den Boden verliert, baut er sein Fundament.

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   Sogar die Brüche — und dann Hilberts Hotel

   Treib es weiter. Zwischen null und eins liegen unendlich viele Brüche, dicht an dicht, zwischen je zweien immer noch einer. Das muss doch mehr sein als die gestuften ganzen Zahlen! Und doch: ordne alle Brüche in ein Gitter nach Zähler und Nenner und durchlaufe es in Schlangenlinien, schräg, Diagonale um Diagonale, und überspringe, was du schon hattest — so bekommt jeder einzelne Bruch seine Nummer. Auch die Brüche lassen sich paaren mit eins, zwei, drei. Auch sie sind, wie Cantor sagt, abzählbar. Man beginnt zu glauben, alles Unendliche sei gleich groß, ein einziger grauer Brei. Jetzt tritt David Hilbert hervor — nicht Cantor, ihm gehört dieses Bild — und lädt dich in sein Hotel: unendlich viele Zimmer, über jeder Tür leuchtet „belegt“. Ein müder Gast kommt. Kein Problem: jeder rückt eine Tür weiter, der aus Zimmer eins in zwei, aus zwei in drei — und Zimmer eins wird frei, ohne dass einer auf der Straße steht. Dann hält ein Bus mit unendlich vielen Neuen. Der Portier bittet jeden Gast, in das Zimmer mit der doppelten Nummer zu ziehen: alle in die geraden Zimmer. Sämtliche ungeraden werden frei — eine ganze Unendlichkeit leerer Betten, mitten im vollen Haus. Das ist kein „es passt halt noch einer rein“. Es ist die Paarung von eben, sinnlich geworden: das Volle gibt Raum, ohne dass jemand verschwindet.

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   Die Zahl, die auf keiner Liste steht

   Hier kippt das Staunen in Schwindel. Jemand behauptet, er habe nun wirklich alle Zahlen zwischen null und eins in einer einzigen, unendlich langen Liste untergebracht — jede als endlose Ziffernfolge hinter dem Komma, eine pro Zeile, lückenlos, vollständig. Cantor lässt ihn glauben und geht dann die Diagonale entlang. Er nimmt die erste Ziffer der ersten Zahl, die zweite der zweiten, die dritte der dritten, immer schräg hinab — und ändert jede einzelne dieser Ziffern (sagen wir: steht da eine Sieben, schreibt er eine Sechs, sonst stets eine Sieben — die Null und die Neun meidet er, damit kein Zahlentrick zwei Schreibweisen verwechselt). So entsteht eine neue Zahl. Sie unterscheidet sich von der ersten Zeile an der ersten Stelle, von der zweiten an der zweiten, von der tausendsten an der tausendsten — von jeder Zeile an mindestens einer Stelle. Sie kann nirgends in der Liste stehen. Und nun das Entscheidende: das gilt nicht für diese eine Liste, sondern für jede überhaupt denkbare. Welche Aufzählung du auch baust — die selbsterzeugte Diagonalzahl klafft als Loch darin. Die reellen Zahlen lassen sich nicht abzählen, niemals und durch niemanden. Es gibt also mindestens zwei verschieden große Unendlichkeiten. Der Schwindel bekommt einen Boden: die Treppe der Unendlichkeit hat mehr als eine Stufe.

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   Die Treppe ohne oberste Stufe — und ihr Preis

   Sieh die Architektur, die sich auftut: eine Stufe für das Abzählbare — Cantor gab ihr den ersten Buchstaben des hebräischen Alphabets, Aleph, mit der Null: die kleinste unendliche Größe. Darüber das Kontinuum, die größere Unendlichkeit der reellen Zahlen, ein lückenloser Lichtfluss gegen die gestufte Türenreihe. Und der Satz von Cantor zeigt: über jeder Stufe gibt es eine höhere, eine Treppe ohne Ende. Über allem, jenseits jeder erreichbaren Stufe, setzte der gläubige Lutheraner Cantor das Absolut-Unendliche — Gott —, das gerade nicht mehr Zahl, nicht mehr steigerbar ist; das Transfinite war ihm das Geschöpfliche, das Absolute blieb dem Schöpfer. Das sei seine Deutung, nicht sein Beweis. Eine Stufe aber konnte er nie betreten: Liegt zwischen dem Abzählbaren und dem Kontinuum noch etwas, oder folgt das eine unmittelbar auf das andere? Das ist seine Kontinuumshypothese, die er vermutete und an der er vergeblich rang. Kurt Gödel zeigte 1940, dass sie sich aus den üblichen Axiomen nicht widerlegen lässt; Paul Cohen 1963, dass sie sich aus ihnen auch nicht beweisen lässt. Zusammen: unentscheidbar, eine Tür, die sich von innen weder öffnen noch schließen lässt. Und der Preis? Cantors einstiger Lehrer Leopold Kronecker bekämpfte ihn erbittert, blockierte Veröffentlichungen und Berufungen; ihm wird der Satz zugeschrieben, die ganzen Zahlen habe der liebe Gott gemacht, alles andere sei Menschenwerk. Cantor blieb sein Leben in Halle, litt ab 1884 an wiederkehrenden Depressionen, mit Aufenthalten in der Nervenklinik, und starb dort 1918, im Krieg, unterernährt. Sein Streit mit Kronecker hat seine Krisen gewiss verschärft — aber eine Krankheit hat ihre eigene Herkunft; macht ihn nicht zum Märtyrer einer Formel. Erst Hilbert sprach das versöhnende Wort, belegt aus seinem Vortrag „Über das Unendliche“ von 1925: „Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können.“